La matematica risolve un enigma che sfida la fisica da 125 anni

Nel luglio del 1900, al Congresso Internazionale di matematica a Parigi, David Hilbert presentò il suo celebre elenco di 23 problemi. Alcuni hanno già lasciato un segno profondo — come l’ipotesi di Riemann o la risoluzione dell’ipotesi di Poincaré — ma il Sesto Problema, meno noto al grande pubblico, affronta una questione filosofica e scientifica di portata monumentale:

Come giustificare le leggi macroscopiche della fisica, come la termodinamica o la fluidodinamica, a partire da leggi microscopiche deterministiche?

In termini più concreti: perché possiamo usare le equazioni di Navier–Stokes per descrivere il moto dell’aria o dell’acqua, se a livello fondamentale tutto è fatto di particelle soggette alle leggi di Newton?

La matematica come linguaggio dell’universo fisico

Nel marzo 2025, i matematici Yu Deng (University of Southern California), Zaher Hani e Xiao Ma (University of Michigan) hanno pubblicato un preprint sul server arXiv in cui hanno proposto una dimostrazione rigorosa e completa della catena di limiti che collega:

• la meccanica di Newton per $N$ particelle

• l’equazione di Boltzmann per la distribuzione statistica

• le equazioni di Navier–Stokes ed Euler per i fluidi continui

Si tratta del primo caso documentato in cui la connessione completa tra questi tre livelli viene formalmente e matematicamente dimostrata, superando i limiti tecnici che avevano bloccato i progressi per oltre un secolo.

I tre livelli della realtà fisica (e matematica)

1. Microscopico: Meccanica classica

Sistema composto da $N$ sfere rigide (o particelle) che interagiscono mediante urti elastici, seguendo le equazioni di Newton. La dinamica è deterministica, reversibile nel tempo e conserva l’energia meccanica.

2. Mesoscopico: Teoria cinetica (Equazione di Boltzmann)

La descrizione passa da particelle a una densità di probabilità nello spazio delle fasi, $f(t,x,v)$, che evolve secondo un’equazione integro-differenziale non lineare:

∂tf+v⋅∇xf=Q(f,f)\partial_t f + v \cdot \nabla_x f = Q(f, f)∂t​f+v⋅∇x​f=Q(f,f)

dove $Q$ è il termine di collisione. Qui nasce la freccia del tempo, espressa dal teorema H: l’entropia cresce.

3. Macroscopico: Fluidodinamica (Euler/Navier–Stokes)

Per grandezze come densità $\rho$, velocità $u$, temperatura $T$, si usano le equazioni:

∂tρ+∇⋅(ρu)=0∂t(ρu)+∇⋅(ρu⊗u+pI)=μΔu+⋯\begin{aligned} & \partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho u) = 0 \\ & \partial_t (\rho u) + \nabla \cdot (\rho u \otimes u + p I) = \mu \Delta u + \cdots \end{aligned}​∂t​ρ+∇⋅(ρu)=0∂t​(ρu)+∇⋅(ρu⊗u+pI)=μΔu+⋯​

Queste descrivono l’evoluzione dei fluidi come mezzi continui, dimenticando le particelle sottostanti.

Matematica e fisica: tre modelli per descrivere la stessa realtà

Deng, Hani e Ma hanno dimostrato il limite di Boltzmann–Grad in un contesto senza simmetria spaziale, controllando l’evoluzione delle particelle newtoniane fino a ottenere, nel limite, la distribuzione di Boltzmann.

Poi, hanno mostrato come soluzioni dell’equazione di Boltzmann in regime di Knudsen basso ($\epsilon \to 0$) tendano a soluzioni delle equazioni di Navier–Stokes o di Euler, a seconda delle condizioni iniziali e del livello di viscosità.

Le novità metodologiche

1. Diagrammi di Feynman classici: una riformulazione grafica per controllare le traiettorie complesse e le iterazioni tra particelle.

2. Tecniche multi-scala avanzate: per controllare simultaneamente gli effetti a scala $O(1)$ (grande) e $O(1/N)$ (particella).

3. Validità su tempi lunghi: superano il cosiddetto “barriera di Lanford”, che limitava le precedenti dimostrazioni al regime di tempo infinitesimo.

Una dimostrazione matematica rigorosa e storicamente attesa

Uno degli aspetti più profondi del lavoro è che ha mostrato come l’irreversibilità macroscopica emerga da una dinamica reversibile:

• Le equazioni di Newton non distinguono passato e futuro.

• Ma le soluzioni della Boltzmann e di Navier–Stokes obbediscono alla freccia del tempo.

• Questo emerge da correlazioni statistiche a lungo termine e perdita di informazione microscopica.

Il lavoro fornisce quindi una base rigorosa al secondo principio della termodinamica, non come postulato, ma come fenomeno emergente.

Perché è importante per la scienza applicata?

Questa non è solo una curiosità teorica:

• Atmosfera e oceani: I modelli meteorologici si basano su Navier–Stokes. Capire la loro origine significa capire meglio i limiti delle simulazioni climatiche.

• Ingegneria aerospaziale: La turbolenza nei motori o nei veicoli ipersonici può ora essere trattata con maggiore rigore teorico.

• Computational physics: Le tecniche di multiscala sviluppate possono essere integrate nei modelli computazionali come le PINNs (Physics-Informed Neural Networks).

E le critiche?

Alcuni esperti hanno sottolineato che il regime considerato è molto specifico:

• Gas rarefatti e diluiti, senza forte interazione tra le particelle.

• Il passaggio da Boltzmann a Navier–Stokes è valido solo in un regime vicino all’equilibrio.

Tuttavia, l’architettura matematica è solida e potenzialmente estendibile ad altri casi (plasma, fluidi compressibili, materia condensata).

Conclusione: verso una fisica veramente matematica

Hilbert auspicava una fisica “assiomatizzata” come la geometria. Questo risultato — se confermato e generalizzato — può segnare un nuovo inizio:

• La fluidodinamica non è più solo fenomenologia ingegneristica, ma una teoria derivabile da primi principi.

• L’entropia non è solo un concetto termodinamico, ma una conseguenza matematica di un mondo molecolare.

• La freccia del tempo non è un dogma: è un fenomeno emergente, derivabile.

Fonti

Preprint su arXiv: Deng, Hani, Ma (2025)

Villani, A review of mathematical topics in collisional kinetic theory (2002)

Cercignani, The Boltzmann Equation and Its Applications (Springer)

Golse, Saint-Raymond, The derivation of the Boltzmann equation from Newtonian mechanics (2004)

Bardos, Levermore, The low Mach number limit of compressible Euler equations (1991)

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